导数
Differentiation
1 求导的本质
- 导数（Derivative） 描述函数在某一点的 变化率（可理解为“斜率”）。
- 符号：若函数为 \(y = f(x)\)，导数记作 \(\frac {dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\)。
- 几何意义：函数图像切线的斜率。
2 求导的四大基本规则
2.1 常数规则
常数（Constant）的导数为 0
公式：\(\frac {d}{dx} (c) = 0\)（c为常数）
例子：
- \(\frac {d}{dx}(5) = 0\)
- \(\frac {d}{dx}(\pi) = 0\)
2.2 幂函数规则
幂函数 \(x^n\) 的导数
公式：\(\frac {d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}\)
例子：
- \(\frac {d}{dx}(x^3) = 3x^2\)
- \(\frac {d}{dx}(\sqrt{x})\) = \(\frac {d}{dx}(x^{1/2})\) = \(\frac {1}{2}x^{-1/2}\) = \(\frac {1}{2\sqrt {x}}\)
2.3 和差规则
函数相加/相减的导数 = 各自导数的和/差
公式：\(\frac {d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)\)
例子：
- \(\frac {d}{dx} (x^2 + \sin x) = 2x + \cos x\)
- \(\frac {d}{dx} (e^x - 4) = e^x\)
2.4 乘法规则
两个函数相乘的导数
公式：\(\frac {d}{dx} [f(x) \cdot g(x) ] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
例子：
- \(\frac{d}{dx}(x \cdot \sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x\)
3 复合函数求导（链式法则）
链式法则（Chain Rule）：用于复合函数 \(f(g(x))\)
公式：\(\frac{d}{dx} [f(g(x)) ] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
口诀：“外导乘内导”
例子：求 \(y = \sin(3x)\) 的导数
- 外层函数：\(\sin(\cdot)\) → 导数为 \(\cos(\cdot)\)
- 内层函数：\(3x\) → 导数为 \(3\)
- 结果：\(\frac{dy}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)\)
4 常用函数的导数公式（背下来！）
| 函数类型 | 函数 \(f(x)\) | 导数 \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| 指数函数 | \(a^x\) | \(a^x \ln a\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| 对数函数 | \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\log_a x\) | \(\frac{1}{x \ln a}\) | |
| 三角函数 | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) | |
| 反三角函数 | \(\arcsin x\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arctan x\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) |
5 求导实战演练（手把手教你）
5.1 例 1：求 \(y = 2x^3 + 5x - 4\) 的导数
- 用幂函数规则：
\(\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{2} = 6x^2\)
- 用幂函数规则：
\(\frac{d}{dx}(5x) = 5\)
- 用常数规则：
\(\frac{d}{dx}(-4) = 0\)
- 合并结果：
\(\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 5\)
5.2 例 2：求 \(y = e^{2x} \cdot \sin x\) 的导数
- 用乘法规则：
设 \(f(x) = e^{2x}\)，\(g(x) = \sin x\)
- 求 \(f'(x)\)（链式法则）：
\(f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\)
- 求 \(g'(x)\)：
\(g'(x) = \cos x\)
- 代入乘法公式：
\(\frac{dy}{dx} = (2e^{2x}) \cdot \sin x + e^{2x} \cdot \cos x\)
\(= e^{2x} (2\sin x + \cos x)\)
5.3 例 3：求 \(y = \ln(3x^2 + 1)\) 的导数
- 链式法则：外层 \(\ln(\cdot)\)，内层 \(3x^2 + 1\)
- 外层导数：\(\frac{d}{du}(\ln u) = \frac{1}{u}\)
- 内层导数：\(\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x\)
- 合并：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 1}\)
6 常见错误避坑指南
- 忘记链式法则：
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx} \sin(2x) = \cos(2x)\)
- ✅ 正确：\(\frac{d}{dx} \sin(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\)
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx} \sin(2x) = \cos(2x)\)
- 幂函数漏指数：
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x\)
- ✅ 正确：\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\)
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x\)
- 混淆 \(e^x\) 和 \(a^x\)：
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x\)
- ✅ 正确：\(\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2\)
- ❌ 错误：\(\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x\)
7 练习题目（附答案）
- \(y = 4x^2 - 3x + 7\) → [答案：\(8x - 3\)]
- \(y = \cos(5x)\) → [答案：\(-5\sin(5x)\)]
- \(y = e^{x^2}\) → [答案：\(2x e^{x^2}\)]
- \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\) → [答案：\(-\frac{1}{2x^{3/2}}\)]
- \(y = \ln(\sin x)\) → [答案：\(\cot x\)]
8 总结
求导的核心是 识别函数结构 + 选择正确规则：
1. 基本函数：用幂函数、指数、对数等公式
2. 组合函数：用和差、乘法规则
3. 嵌套函数：用链式法则（外导×内导）
多练习、多画图（理解斜率变化），你一定能掌握！需要更多例子或具体问题，随时问我！